Как построить равносторонний шестиугольник - Производство и поставки
19.05.2022

Как построить равносторонний шестиугольник

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

Читайте также:  Масло для цепи бензопилы

  1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
  2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
  3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
  4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.


Правильный шестиугольник (понятие и определение):

Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.

Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

  1. диаметр описанной окружности;
  2. диаметр вписанной окружности;
  3. площадь;
  4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Читайте также:  Как подключить монитор с разъемом vga к hdmi цифровому ресиверу

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Читайте также:  Производительные методы точения цилиндрических поверхностей

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

  1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
  2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
  3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

  1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
  2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
  3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
  4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Построение правильного шестиугольника и его свойства: углы, площадь и радиусы окружностей; интересные факты

Как построить правильный шестиугольник

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

180°(n-2),

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

  1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
  2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
  3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
  4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

  1. диаметр описанной окружности;
  2. диаметр вписанной окружности;
  3. площадь;
  4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису.

Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность.

Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника.

Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается.

Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

  1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
  2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
  3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

  1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
  2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
  3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
  4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Источник: https://tokar.guru/metallicheskie-izdeliya/profili-ugolki-shvellery/pravilnyy-shestiugolnik-i-ego-svoystva.html

Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.

a1 = a2 = a3 = a4= a5= a6.

2. Все углы равны между собой и составляют 120°.

α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 120°.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.

Рис. 5. Правильный шестиугольник

5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.

Рис. 6. Правильный шестиугольник

6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 7. Правильный шестиугольник

7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 8. Правильный шестиугольник

R = a

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Читайте также: 

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Читать также: Лучший бытовой сварочный аппарат

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Правильный шестиугольник

В случае, если шестиугольник имеет правильную форму, то расчет нужного параметра становится гораздо проще.

  1. Умножьте длину его стороны на 6 и вы получите нужное значение по формуле P=a*6, где a — сторона правильного шестиугольника.
  2. Например, у нас имеется фигура со стороной длиной 10 сантиметров, умножаем 10 на 6 и получаем в итоге 60 сантиметров в периметре.
  3. Также правильная фигура имеет уникальное свойство: радиус окружности, который описан вокруг такого шестиугольника, равен длине его стороны. Если вам известен радиус описанной окружности, то достаточно воспользоваться формулой в виде P=R*6, где R — радиус описанной окружности.

Например, известен прямоугольник, вписанный в окружность, имеющую диаметр 20 сантиметров. Тогда радиус будет в два раза меньше и составит 10 сантиметров. Полученную величину умножаем на 6 сторон и получаем периметр.

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Советуем посмотреть:

Правильный многоугольник

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Длина окружности

Площадь круга

Площадь кругового сектора

Длина окружности и площадь круга

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

  • сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
  • внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

  • если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
  • Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
  • При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

  • с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
  • описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
  • в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины — специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию. Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений. Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.

Способ построения выглядит следующим образом:

Читайте также:  Строительные блоки делаем самостоятельно с использованием механизмов

Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

  • к одной стороне отрезка прикладывается угольник — короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
  • на листе/заготовке вычерчивается линия — длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
  • операция повторяется при развороте угольника — угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
  • разворот угольника — теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
  • уточнение размеров сторон — на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
  • строительство двух оставшихся сторон — они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
  • контроль параллельности — шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком

Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе. Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.

Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.

Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a — диаметр, b — сторона шестигранника.

В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:

  • после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
  • инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
  • короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
  • скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.

Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.

Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a2 * 3 √3) / 2.

Зачем уметь строить эту геометрическую фигуру?

Научиться изображать геометрические тела, в том числе и призмы, необходимо всем будущим художникам.

С построения этих объектов начинается учебный процесс во всех заведениях. А уже после этого студенты постепенно переходят к изображению розеток, капителей, портрета и фигуры человека.

Если вы освоите этот объект, то в дальнейшем вам будет проще изображать различные предметы, строящиеся на его основе. В частности, у вас не возникнет трудностей с различными коробками и упаковками, бытовой техникой, зданиями и так далее.

Рисование геометрических тел также входит и в экзаменационную программу для поступления в художественный вуз. Однако с первого раза построить правильную фигуру с соблюдением пропорции и перспективы получается далеко не у каждого. Поэтому будет лучше, если в процессе подготовки к экзаменам вы потратите на изображение призмы достаточно времени, тогда на самом вступительном испытании будете чувствовать себя уверенно. С каждым разом изображение призмы будет даваться все легче.

В школе-студии К.Э. Арутюновой «Мастер рисунка» учат работать с геометрическими телами. К каждому ученику применяется индивидуальный подход с учетом его уровня и времени до сдачи вступительного экзамена. Преподаватель подробно разбирает со студентами все работы, обращает внимание на ошибки и помогает их исправить.

Готовитесь ли вы к поступлению в художественный вуз или просто хотите научиться для себя, без основ вам не обойтись. Независимо от того, в каком стиле вы собираетесь работать позднее, начать изучение все равно необходимо с базовых знаний. Запишитесь на занятия по телефону в Москве или через специальную форму на сайте.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

  1. Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
  2. Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
  3. Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
  4. После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
  5. Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
  6. Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
  7. На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

  1. Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
  2. Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
  3. Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
  4. Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
  5. Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
  6. D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Я РАСТУСайт для детей и их родителей

Как сделать шестигранную беседку из дерева

Как построить шестигранник

С приходом теплого времени года большинство жителей крупных городов начинают свои поездки на приусадебные участки для проведения отдыха на природе со своей семьей и друзьями.

Поиск подходящего под эти параметры места зачастую занимает много времени, кроме этого, отдых вдали от дома чреват многими трудностями, такими как непредвиденные атмосферные осадки, транспортировка продуктов питания, принадлежностей для пикника и т. д.

Имея свой загородный дом и небольшой участок земли, можно с легкостью избежать этих неприятных обстоятельств и сэкономить уйму средств путем изготовления беседки. Идеальная ее расположенность – среди плодовых деревьев в непосредственной близости от водоема.

Среди многообразия форм этой постройки наибольшую популярность имеет шестигранная беседка, поскольку она обладает прекрасными эстетическими и практическими особенностями. В этой статье мы рассмотрим, как сделать шестигранную беседку из дерева своими руками, которая сможет не только быть прекрасным местом для проведения запоминающихся застолий, но и каждый раз подчеркивать способности своего автора, став достоянием всей дачи.

Преимущества конструкции

Использование названного типа обусловлено рядом определяющих преимуществ, основными из которых являются:

  • компактность;
  • вместительное внутреннее пространство;
  • устойчивость и прочность;
  • экстраординарный дизайн.

Подбор места для размещения беседки

Для того чтобы справиться с поставленной задачей потребуется учесть ряд важных особенностей: назначение возводимой конструкции, внешний вид беседки и открывающееся пространство из нее.

Назначение

В случае использования беседки в качестве помещения для приема пищи на природе следует размещать ее в непосредственной близости от основного жилого здания, поскольку перенос яств, посуды и прочей атрибутики значительно увеличит время на подготовку к мероприятию. Если же конструкция призвана стать местом релаксации и чтения любимых книг в абсолютной тишине, то постройку следует воздвигать вдали от основных сооружений в тени раскидистых плодовых деревьев.

Открывающееся пространство

Размещать беседку следует с видом на достопримечательности вашего участка или близлежащие окраины. Прекрасная расположенность беседки – вблизи водоема или альпийской горки. Это предоставит возможность спокойно насладиться гладью воды и благоуханием цветов, а также получить наслаждение и умиротворение от созерцания красоты матушки-природы.

В семьях с маленькими детьми беседку целесообразнее всего размещать на возвышенных площадках, которые позволяют одновременно наблюдать за всей придомовой территорией.

Внешний вид

Этот фактор обусловлен в первую очередь функционалом строения. Преследуя цель придать наделу земли особую эстетику и некий шарм, есть смысл задуматься над установкой беседки вблизи пруда или цветущих клумб. В случае использования беседки для игр детворы – расположите конструкцию на открытом хорошо просматриваемом месте в тени садовых деревьев.

Составление плана

Для того чтобы разобраться в вопросе, как построить надежную и качественную беседку, первоначально следует создать четкий эскиз будущей конструкции.

На сегодняшний день за составлением этого важного документа можно обратиться в любую строительно-отделочную компанию или выполнить его самостоятельно, воспользовавшись предложенными в конце статьи вариантами.

Правильно оформленные чертежи в совокупности с точными замерами позволят выполнить любую работу с наименьшими трудовыми и временными потерями. На этапе планирования стоит определиться с габаритами постройки и типом расходных материалов.

Целесообразнее всего в качестве первоосновы для беседки выбирать древесину, поскольку этот материал можно с легкостью приобрести и доставить в любую точку географии. Кроме этого, ценовая политика деревянных изделий существенно ниже остальных своих аналогов и вариантов замены. С этой задачей легко справятся брус и доска из ели или сосны.

Требуемый инструментарий

Для быстрого и качественного монтажа потребуется подготовить необходимые инструменты и расходники. Неотъемлемыми представителями являются:

  • ножовка для работы по дереву;
  • молоток и гвозди;
  • веревка для разметки;
  • рубанок;
  • стамеска;
  • дрель с набором сверл и бит;
  • строительный уровень;
  • рулетка;
  • совковая и штыковая лопаты;
  • самодельная трамбовка.

В любом строительном мероприятии использование электрического инструмента позволит значительно сократить время на подготовку материалов и увеличить скорость возведения конструкции.

Подготовка площадки и нанесение разметки

Первостепенная задача – очистка места установки от стороннего мусора, утрамбовка и выравнивание площадки.

Затем необходимо на подготовленном участке наметить окружность с радиусом, равным длине одной из граней беседки.

Для успешного выполнения поставленной задачи необходимо подготовить простое приспособление, включающее в свой состав два небольших бруска, заточенных в одну из сторон, и соединительную веревку или бечеву.

Прикрепляем веревку к каждому из брусков, после чего один из них вбиваем в предполагаемый центр будущей беседки, отматываем требуемой длины веревку и вторым намечаем по кругу границы конструкции.

Для получения правильного шестиугольника следует отметить с внутренней стороны окружности 6 отрезков с длиной, равной радиусу названной геометрической фигуры. В конечном счете 6 соединительных точек станут углами постройки.

От правильной разметки подготовленного пространства зависит эстетика, долговечность и скорость монтажа, поэтому осуществлять ее необходимо строго в соответствии с составленным планом.

Обустройство основания

В вопросе, как сделать надежную подложку, стоит обратиться за помощью к опыту специалистов. Практика показывает, что для изготовления основания шестигранной беседки рациональнее использовать столбчатый тип фундамента, поскольку он не требует затяжной подготовки и возводится за считанные часы.

Для его получения потребуется в намеченных 6 точках по периметру окружности и в ее центре выкопать ямы с глубиной от 50 до 100 см в зависимости от веса предполагаемой конструкции. Каждое из углублений засыпается небольшим слоем песчано-щебеночной смеси и качественно трамбуется. Затем по периметру рытвины вбиваются прутья арматуры от 4 до 6 штук, и устанавливается деревянная опалубка.

После выполнения описанных выше действий заливаем подготовленные ямы бетоном. Выдержав необходимое время для высыхания, опалубку демонтируют.

Для придания большей прочности перед заливкой фундамента в центр каждого углубления вбиваем прутья арматуры, таким образом, чтобы ее верхние края выступали не менее чем на 20–25 см над опалубкой.

Возведение каркаса

Для успешного выполнения поставленной цели необходимо выполнить следующую очередность действий:

  1. В соответствии с составленным чертежом нарезаем бруски необходимой длины, после чего их обрабатываем рубанком и шлифовальной машиной. Далее, с каждой из сторон бруса-основания намечаем ровный квадрат со сторонами, равными толщине деревянного изделия и просверливаем по месту пересечения диагоналей отверстия. Заготовленные бруски выкладываем колодцем на арматурные прутья, расположенные в фундаменте опорных столбов. Складывание бруса выполняется посредством соединения «в полдерева».
  2. Затем, приступаем к установке центрального опорного бруса. Для этой цели рациональнее всего использовать брус с сечением 100×100 мм и высотой, равной расстоянию от центрального столбчатого основания до предполагаемой границы пола.
  3. После начинаем возводить боковые стойки. В их обустройстве нам поможет все тот же брус «сотка» с длиной, равной высоте будущей беседки. С нижней стороны каждого составного столба просверливаем отверстие, после чего насаживаем на арматуру фундамента. Вертикали выставляем посредством отвеса или строительного уровня и фиксируем сваи металлическими уголками с помощью саморезов. Для упрощения последующего монтажа крыши и верхнего венечной оборки нелишним будет оборудованные деревянные опоры укрепить времянками из подручных обрезков.

Сооружение каркаса беседки

  1. Следующая процедура – изготовление венечного кольца. Названный элемент конструкции представляет собой такую же оборку из бруса, что и в основании. Нарезанные детали выкладываем на верхние части опорных столбов и скрепляем саморезами.
  2. Завершающее мероприятие – оборудование пола. Для этого потребуется застелить место под будущим полом полиэтиленовой пленкой и засыпать значительным слоем песка. Далее приступаем к установке лаг. Как правило, они изготавливаются из брусьев 50×100 мм, хотя это значение всего лишь рекомендуемое и неконечное, поэтому определение вида деревянного изделия и его размеры остаются за хозяином. В качестве напольного покрытия оптимальным будет использовать классическую половую доску, листы фанеры или ориентировано-стружечные плиты.

Перед проведением монтажных работ с лагами и полом не стоит забывать про обработку каждого деревянного элемента защитными антисептическими составами!

Процедура установки крыши выполняет поэтапно и включает в свой состав оборудование стропильной системы и облицовочную обшивку. Все работы по монтажу этого элемента беседки целесообразнее всего проводить на земле, а впоследствии установить его на свое место в конструкции.

Для изготовления стропил достаточно бруса 50×100 мм. Кроме этого, потребуется вспомнить известную школьную теорему Пифагора, которая в смешной интерпретации звучит так: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».

На бумаге же это выглядит следующим образом: а²+в²=с², где «а» и «в» – стороны равнобедренного треугольника или катеты, в нашем случае расстояние от верхней точки деревянной опорной стойки до центра и высота от опорного столба до верхней точки крыши соответственно, а «с» – гипотенуза, значение которой и необходимо узнать.

Узел соединения стропил

Осуществив простые математические расчеты, следует прибавить к полученному значению 20–30 см на свесы крыши. Далее для сбора стропил в единую систему надлежит изготовить шестиугольную деревянную заготовку, которая впоследствии фиксируется в центре крыши и соединяет каждую из стропил с внутренней стороны крыши.

Следующее мероприятие – соединение стропильных брусьев поперечными балками. Для этого отлично подойдет брус с сечением 50×50 мм, который размещается с шагом в 50 см от центра к краям крыши.

Ну и заключительным этапом идет размещение кровельного материала.

В случае использования жесткого материала (шифера, металлочерепицы или профнастила) можно приступать к его монтажу без проведения подготовительных процедур.

Если же в качестве облицовки выбрана мягкая кровля, то необходимо предварительно каркас крыши покрыть жестким основанием (листы фанеры или ОСП-плиты), после чего приступать к финишной отделке.

Завершающие работы

Основная часть мероприятий выполнена, остается только под свой вкус и цвет возвести перила, а также осуществить манипуляции по декорированию как внутреннего пространства, так и внешнего.

Кроме этого, в случае изготовления чрезмерно высокого пола, особенно если планируется посещение беседки детьми, нелишним будет соорудить ступеньки на входе.

Поскольку возводимая конструкция является уличным строением, то следует максимально защитить ее от пагубного воздействия природных явлений.

Как можно заметить, собственноручное возведение беседки на дачном участке дело довольно непростое, однако, при правильном подходе и должном усердии процесс монтажа в соответствии с приложенной инструкцией может превратиться в приятное увлечение для каждого хозяина, итог которого будет радовать каждого члена вашей семьи и гостя.

О том, как сделать экобеседку вы сможете узнать из предложенного нами видео:

Чертежи и схемы

Эти схемы помогут вам в создании собственного проекта шестигранной деревянной беседки:

Схема основы

Способы соединения стропил

Схема конструкции кровли

Размеры беседки по периметру

Чертеж стропил

Чертеж шестигранной беседки

Конструкция крыши

Информация о размерах

Чертеж цоколя деревянной беседки

Источники

  • https://kamuflyzh.ru/instrument-i-oborudovanie/diagonal-shestiugolnika.html
  • https://prostta.ru/kak-postroit-pravilnyj-shestiugolnik.html
  • https://prostosvai.ru/produkciya/vypuklyj-shestiugolnik.html
  • https://dismaster.ru/masteru/kak-narisovat-shestiugolnik-s-pomoshhyu-linejki.html
  • https://budu5.com/manual/chapter/3573
  • https://SumkiVTrende.ru/tehnologii/vypuklyj-shestiugolnik.html
  • https://ltruck-service.ru/elektro/kak-postroit-pravilnyj-shestiugolnik.html
  • https://ochprost.ru/kak-postroit-shestigrannik.html

[свернуть]